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Was bedeutet die Terminalseite?

Lernziele. Mathematiker erstellen Definitionen, weil sie bestimmte Probleme lösen können. Zum Beispiel wurden die sechs trigonometrischen Funktionen ursprünglich als rechtwinklige Dreiecke definiert, da dies bei der Lösung realer Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken wie dem Auffinden von Höhenwinkeln hilfreich war.

Sie lernen nun neue Definitionen für diese Funktionen, bei denen die Domäne die Menge aller Winkel ist. Die neuen Funktionen haben dieselben Werte wie die ursprünglichen Funktionen, wenn die Eingabe ein spitzer Winkel ist.

In einem rechtwinkligen Dreieck können Sie nur spitze Winkel haben, aber die Definition wird um andere Winkel erweitert. Eine Verwendung für diese neuen Funktionen besteht darin, dass sie verwendet werden können, um unbekannte Seitenlängen und Winkelmaße in jeder Art von Dreieck zu finden. Diese neuen Funktionen können in vielen Situationen verwendet werden, die überhaupt nichts mit Dreiecken zu tun haben. Bevor Sie sich die neuen Definitionen ansehen, müssen Sie sich mit der Standardmethode vertraut machen, mit der Mathematiker Winkel zeichnen und beschriften.

Allgemeine Winkel. Aus der Geometrie wissen Sie, dass ein Winkel durch zwei Strahlen gebildet wird. Die Strahlen treffen sich an einem Punkt, der als Scheitelpunkt bezeichnet wird. In der Trigonometrie werden Winkel auf Koordinatenachsen platziert. Der Scheitelpunkt befindet sich immer am Ursprung und ein Strahl befindet sich immer auf der positiven x-Achse.

Dieser Strahl wird als Anfangsseite des Winkels bezeichnet. Der andere Strahl wird als Endseite des Winkels bezeichnet. Diese Positionierung eines Winkels wird als Standardposition bezeichnet. Der griechische Buchstabe Theta wird häufig verwendet, um ein Winkelmaß darzustellen.

Zwei Winkel in Standardposition sind unten gezeigt. Wenn ein Winkel in Standardposition gezeichnet wird, hat er eine Richtung. Beachten Sie, dass die obige Zeichnung kleine gekrümmte Pfeile enthält.

Der linke geht gegen den Uhrzeigersinn und ist als positiver Winkel definiert. Der rechte geht im Uhrzeigersinn und ist als negativer Winkel definiert. Warum sollten Sie überhaupt negative Winkel haben?

Wie bei allen Definitionen ist es eine Frage der Bequemlichkeit. Warum ist gegen den Uhrzeigersinn positiv? Dies ist nur eine Konvention - etwas, worauf sich Mathematiker geeinigt haben -, weil ein Weg positiv und der andere negativ sein muss.

Probieren Sie die folgende interaktive Übung aus, um zu sehen, wie sich positive Winkel aus der Drehung gegen den Uhrzeigersinn und negative Winkel aus der Drehung im Uhrzeigersinn ergeben. Dies ist ein Java-Applet, das mit GeoGebra von www erstellt wurde.

Zeichnen Sie einen Winkel in der Standardposition. Beachten Sie, dass die Anschlussseiten in den beiden obigen Beispielen gleich sind, jedoch unterschiedliche Winkel darstellen. Solche Winkelpaare werden als Coterminalwinkel bezeichnet. Für jeden in Standardposition gezeichneten Winkel gibt es einen verwandten Winkel, der als Referenzwinkel bezeichnet wird.

Dies ist der Winkel, der von der Anschlussseite und der x-Achse gebildet wird. In der Standardposition sind unten zwei Winkel dargestellt. Hier sind zwei weitere Winkel in Standardposition. Der Referenzwinkel ist in diesem Fall der gleiche wie der ursprüngliche Winkel. Die Terminalseite befindet sich in Quadrant II. Wofür ist der Referenzwinkel? Möglicherweise haben Sie den Winkel in der Standardposition korrekt gezeichnet, sich gegen den Uhrzeigersinn gedreht und sind im vierten Quadranten gelandet.

Möglicherweise haben Sie jedoch den Winkel betrachtet, der von der Anschlussseite und der y-Achse anstelle der x-Achse gebildet wird. In der Standardposition dreht sich der Winkel gegen den Uhrzeigersinn durch den ersten, zweiten, dritten und vierten Quadranten.

Daher ist der Referenzwinkel. Auch der Referenzwinkel ist immer positiv. Möglicherweise haben Sie jedoch den Referenzwinkel mit einem Coterminalwinkel verwechselt. Denken Sie daran, dass der Referenzwinkel immer positiv ist. Ein Einheitskreis ist ein Kreis, der am Ursprung zentriert ist und den Radius 1 hat, wie unten gezeigt. Dies ist die Gleichung des Einheitskreises.

Die allgemeine Definition der trigonometrischen Funktionen. Die beiden Dreiecke haben die gleichen Winkel, daher sind sie ähnlich. Daher sind die entsprechenden Seiten proportional. Die Hypotenuse rechts hat die Länge 1, da es sich um einen Radius handelt. Da dies die Hälfte der Hypotenuse links ist, sind alle Seiten rechts die Hälfte der entsprechenden Seiten links.

Zum Beispiel ist die Seite neben dem 30-Grad-Winkel links; daher muss die entsprechende Seite des Dreiecks rechts halb so groß sein, oder. Schauen Sie sich das rechte Dreieck links an. Verwenden der Definitionen von Sinus und Cosinus: Sehen Sie sich nun den Punkt an, an dem die Endseite den Einheitskreis schneidet. Die x-Koordinate ist gleich und die y-Koordinate ist gleich.

Dies ist kein Zufall. Die Endseite des Winkels schneidet den Einheitskreis am Punkt. Die erste und die darunter liegende Gleichung mit den ausgeschnittenen mittleren Schritten sagen Ihnen: Jetzt können Sie sehen, dass die y-Koordinate dieses Punktes immer gleich dem Sinus des Winkels ist und die x-Koordinate dieses Punktes immer gleich dem Kosinus des Winkels.

Die Terminalseite schneidet den Kreis irgendwann. Je nach Winkel kann sich dieser Punkt im ersten, zweiten, dritten oder vierten Quadranten befinden. Jedes Bein auf dem Einheitskreisdreieck lautet also: Aus den Koordinaten auf dem Einheitskreis: Aus dem Dreieck: Die Hauptidee der Beispiele, dass die Brüche, an denen x und y beteiligt sind, den verschiedenen trigonometrischen Funktionen entsprechen, gilt weiterhin. Verwenden Sie das Dreieck unten, um die x - beliebigen y - Koordinaten des Schnittpunkts der Terminalseite und des Kreises zu ermitteln.

Das Einheitskreisdreieck ähnelt dem 3-4-5-Dreieck. Da diese Hypotenuse gleich der ursprünglichen Hypotenuse geteilt durch 5 ist, können Sie die Beinlängen ermitteln, indem Sie die ursprünglichen Beinlängen durch 5 teilen. Ermitteln Sie die x- und y-Koordinaten. Berechnen Sie die Verhältnisse. Sie sind gleich! Die ersten drei unserer neuen Definitionen führen uns zu einer weiteren wichtigen Identität: Wir können y durch und x durch in ersetzen, um die trigonometrische Identität zu erhalten.

Da Kotangens der Kehrwert der Tangente ist, erhalten Sie eine weitere trigonometrische Identität. Denken Sie daran, dass für jeden möglichen Wert der Variablen eine Identität gilt. Unabhängig davon, welchen Winkel Sie verwenden, werden die Werte für Tangente und Kotangens durch diese Quotienten angegeben.

Obwohl einige Lehrbücher leicht unterschiedliche allgemeine Definitionen der trigonometrischen Funktionen enthalten, ist es wichtig zu wissen, dass sie Ihnen am Ende dieselben Werte geben wie die Definitionen, die Sie bereits erhalten haben. Dieser Punkt könnte in einem beliebigen Quadranten liegen, aber wir zeigen einen im ersten Quadranten. Schreiben Sie nun die ursprünglichen Definitionen auf und schreiben Sie sie mit den Variablen x, y und r neu. Diese sechs Brüche werden als allgemeine Definitionen der trigonometrischen Funktionen für jeden Winkel in jedem Quadranten verwendet.

Bestätigen Sie, dass dies dem Wert von entspricht. Die Hypotenuse entspricht dem Radius, also 10. Die Seiten des Dreiecks geben die Werte von x und y im ersten Diagramm an. Also ja,. Verwenden der allgemeinen Definitionen der trigonometrischen Funktionen. Jetzt lernen Sie, wie Sie diese Definitionen auf nicht spitze Winkel und auf negative Winkel anwenden.

Zeichnen Sie bei einem beliebigen Winkel die Standardposition zusammen mit einem Einheitskreis. Die Terminalseite schneidet den Kreis an einem bestimmten Punkt, wie unten gezeigt. Hier sind wieder die allgemeinen Definitionen der sechs trigonometrischen Funktionen unter Verwendung eines Einheitskreises. Hier ist diese Zeichnung: Aus diesem Grund ist es einfach, die Koordinaten der Punkte zu finden, an denen die Endseiten den Einheitskreis schneiden, indem Sie die obige Zeichnung verwenden. Verwenden Sie beispielsweise das obige Diagramm ganz links und die Definition des Kosinus: Verwenden des mittleren Diagramms und der Definition des Kotangens: Verwenden des Diagramms ganz rechts und der Definition des Kosekanten: Verwenden Sie die Definition des Kosinus.

Ersetzen Sie den Wert der x-Koordinate, den Sie oben gefunden haben.

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